Modelo lineal

En estadística, el término modelo lineal es usado en diferentes maneras de acuerdo al contexto. La manera más frecuente es en conexión con modelos de regresión y el término a menudo se toma como un sinónimo del modelo de regresión lineal. Sin embargo, el término es también usado en análisis de series de tiempo con un significado diferente. En cada caso, la denominación como "lineal" es usada para identificar una subclase de modelos para los cuales la reducción en complejidad de la teoría estadística relacionada es posible.

Modelos de Regresión Lineal    David Salazar Flores 107

Para el caso de regresión, el modelo estadístico es como sigue: un modelo lineal predice el valor de una variable a través de otras que llamaremos factores mediante una función lineal de estos.¹ Estos factores están determinados por el escenario donde observamos la variable a predecir, a la cual llamaremos variable endógena. Dada una muestra (aleatoria) ${\displaystyle (Y_{i},X_{i1},\ldots ,X_{ip}),\,i=1,\ldots ,n}$ la relación entre las observaciones Y_i y las variables independientes X_ij se fórmula como

${\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})+\varepsilon _{i}\qquad i=1,\ldots ,n}$

donde ${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{p}}$ pueden ser funciones no lineales. En la ecuación anterior, las cantidades ε_i son variables aleatorias representando errores en la relación. La parte "lineal" se refiere a la apariencia de los coeficientes de regresión, β_j en esta ecuación. Alternativamente, se puede decir que los valores ajustados correspondientes al anterior modelo, notados

${\displaystyle {\hat {Y}}_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})+\cdots +\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\qquad (i=1,\ldots ,n),}$

son funciones lineales de los β_j.

Dado que la estimación se toma en la base de un análisis de mínimos cuadrados, las estimaciones de los parámetros desconocidos β_j se determinan al minimizar una función de suma de cuadrados

${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\beta _{0}-\beta _{1}\phi _{1}(X_{i1})-\cdots -\beta _{p}\phi _{p}(X_{ip})\right)^{2}.}$

Por lo tanto, se puede ver que el aspecto "lineal" del modelo implica lo siguiente:

• la función a ser minimizada es una función cuadrática de los β_j para lo cual el problema de minimización es relativamente simple;
• las derivadas de la función son funciones lineales de los β_j haciendo fácil de encontrar los valores estimados que la minimizan;
• los valores estimados de β_j son funciones lineales de las observaciones Y_i;
• los valores estimados de β_j son funciones lineales de los errores aleatorios ε_i lo cual hace relativamente fácil determinar sus propiedades estadísticas.

Funciones Polinomiales             Andres Luna Romero 107

Las funciones polinomiales están entre las expresiones mas sencillas del álgebra. Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones mas complicadas. Una función polinomial es una función cuya regla esta dada por un polinomio en una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una variable, es decir, la potencia mas alta que aparece de x.

Ceros De Polinomios

Si P es un polinomio y c es un numero tal que P(c), entonces decimos que c es un cero de P. A continuacion se presentan formas equivalentes de decir lo mismo:

1. c es un cero de P 2. x = c es una raiz de la ecuacion P(x)=0 3. x-c es un factor de P(x) 4. x=c es una interseccion en x de la grafica de P

Entre cualesquiera dos ceros sucesivos del polinomio, los valores del mismo seran todos positivos o negativos. Por lo tanto, entre dos ceros sucesivos la grafica se encontrara en su totalidad por encima o por debajo del eje x.

El comportamiento final esta determinado por el termino en el polinomio que tiene la potencia mas alta de x.

Recomendaciones Para Graficar Un Polinomio

1. Factorice el polinomio para determinar todos sus ceros reales, estos son las intersecciones con el eje x de la grafica.

2. Elabore una tabla de valores del polinomio evaluando x entre y, a la izquierda y a la derecha de los ceros determinados en el paso 1.

3. Grafique las intersecciones y los puntos determinados.

4. Determine el comportamiento final del polinomio.

5. Trace la curva suave que pase por los puntos graficados en el paso 3. y que exhiba el comportamiento final.

MODELOS NUMÉRICOS

PAULINA EVELIN REYES SALAZAR NUM: 31 GRUPO: 107

El modelado numérico (a veces llamado modelización numérica) es una técnica basada en el cálculo numérico, utilizada en muchos campos de estudio (ingeniería, ciencia, etc) desde los años 60 para validar o refutar modelos conceptuales propuestos a partir de observaciones o derivados de teorías anteriores. Si el cálculo de las ecuaciones que representan el modelo propuesto es capaz de ajustar las observaciones, entonces se habla de un modelo consistente con las mismas, y se dice también que el modelo numérico que confirma las hipótesis (el modelo); si el cálculo no permite en ningún caso reproducir las observaciones, se habla de un modelo inconsistente con los datos y que refuta el modelo conceptual. A menudo, este término se utiliza como sinónimo de simulación numérica.

Origen

Los modelos científicos de la realidad se crean mediante modelado matemático. Un modelo matemático determina el conjunto de ecuaciones que gobiernan el sistema que se estudia y del cual se tienen observaciones metódicas. Tradicionalmente se intentaban encontrar soluciones analíticas a esas ecuaciones para validarlas (reproducir las observaciones) y para posibilitar su uso (p.e., predicción del comportamiento del sistema partiendo de un conjunto de parámetros y condiciones iniciales). Los modelos numéricos resultaron de utilizar los ordenadores con el mismo propósito: resolver las ecuaciones de un modelo matemático no de forma analítica sino numérica.

Un modelo conceptual o científico se forma al atribuir un conjunto de observaciones con una serie de hipótesis y aproximaciones. La validación se produce cuando el modelo numérico basado en esas hipótesis y aproximaciones es capaz de reproducir el conjunto de observaciones considerado.

Procedimiento

El modelado numérico suele seguir la siguiente secuencia:

1. Escoger el conjunto de observaciones del que el modelo deberá dar cuenta.
2. Definir el modelo conceptual (simplificaciones, aproximaciones, hipótesis) que se pretende validar o refutar.
3. Encontrar un modelo físico-matemático, un conjunto de ecuaciones que represente al modelo conceptual.
4. Encontrar un método de resolución numérica de dichas ecuaciones. Con frecuencia el término 'modelado numérico' se usa para este paso.
5. Encontrar las condiciones (la región del espacio de parámetros del modelo) en las cuales la resolución del modelo matemático es capaz de explicar las observaciones.
6. Interpretar los resultados
7. tomemos como ejemplo la ecuación de difusión de calor, propuesta por J. Fourier en 1822, la cual es un modelo matemático de cómo se propaga el calor en un medio material y se expresa mediante la siguiente ecuación diferencial parcial:
8. ∂T/∂t = D ∂²T/∂x²
   donde T es la temperatura, t el tiempo, x la distancia, D=(κc^-1ρ^-1), c es el calor específico del material, ρ su densidad, y κ la conductividad de calor. El problema a resolverse es completamente especificado si se incluyen condiciones iniciales y de frontera.

modelos cualitativos

Juan Carlos Trujillo Arellano num. 45 Grupo. 107
Modelos Cualitativos:

                                        Modelos Cualitativos                    

 Tienen el fin de reducir la incertidumbre implícita en una toma de decisiones, en cuanto a los estudios para explorar conceptos de nuevos productos y servicios determinando el avance en cuanto a su producción. Los modelos cualitativos determinan, de manera general, las relaciones entre diferentes factores o componentes del sistema. Estos modelos no pretenden cuantificar dichas relaciones sino solamente facilitar el entendimiento de cómo funciona el proceso específico que nos interesa. Al construir modelos gráficos, es aconsejable comenzar en forma sencilla para luego ampliar el modelo y poder incluir todos los factores esenciales.Es así como finalmente se puede describir el proceso específico que nos interesa con todo el detalle necesario para cumplir el propósito del análisis.

Los modelos matemáticos

Modelo matemático 

 Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del campo de las Matemáticas. Las previsiones del tiempo y los pronósticos económicos, por ejemplo, están basados en modelos matemáticos. Su éxito o fracaso depende de la precisión con la que se construya esta representación numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones naturales en forma de variables relacionadas entre sí
 

• Modelos  (del griego euriskein 'hallar, inventar'). Son los que están basados en las explicaciones sobre las causas o mecanismos naturales que dan lugar al fenómeno estudiado.
• Modelos empíricos (del griego empeirikos relativo a la 'experiencia'). Son los que utilizan las observaciones directas o los resultados de experimentos del fenómeno estudiado.
• Además los modelos matemáticos encuentran distintas denominaciones en sus diversas aplicaciones. Una posible clasificación puede atender a si pretenden hacer predicciones de tipo cualitativo o pretende cuantificar aspectos del sistema que se está modelizando:
  • Modelos cualitativos o conceptuales, estos pueden usar figuras, gráficos o descripciones causales, en general se contentan con predecir si el estado del sistema irá en determinada dirección o si aumentará o disminuirá alguna magnitud, sin importar exactamente la magnitud concreta de la mayoría de aspectos.
  • Modelos cuantitativos o numéricos, usan números para representar aspectos del sistema modelizado, y generalmente incluyen fórmulas y algoritmos matemáticos más o menos complejos que relacionan los valores numéricos. El cálculo con los mismos permite representar el proceso físico o los cambios cuantitativos del sistema modelado.
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